Question

18．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），若g（x）=x²f（x），则不等式g（x）＜g（1）的解集是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （-∞，0）∪（0，1）
• C． （-1，1）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，可得：f（-x）=f（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（-x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x²f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．

解答 解：∵f（x）是定义域为{x|x≠0}的偶函数，
∴f（-x）=f（x）．
对任意正实数x满足xf′（x）＞-2f（x），
∴xf′（x）+2f（x）＞0，
∵g（x）=x²f（x），
∴g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）＞0．
∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴g（x）在（-∞，0）递减；
若不等式g（x）＜g（1），
则|x|＜1，x≠0，
解得：0＜x＜1或-1＜x＜0，
故选：D．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．