Question

6．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-A₁B-C₁的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出A₁O⊥AC，由此能证明A₁O⊥平面ABC．
（Ⅱ）以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C₁的大小．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）∵AA₁=A₁C，且O为AC的中点，
∴A₁O⊥AC，…（2分）
又∵侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，交线为AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
∴A₁O⊥平面ABC…（4分）
解：（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
由已知可得O（0，0，0），A（0，-1，0），${A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，${C_1}（0，2，\sqrt{3}）$，$B（\sqrt{3}，0，0）$
∴$\overrightarrow{AB}=（\sqrt{3}，1，0）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（\sqrt{3}，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=（0，2，0）$…（6分）
设平面AA₁B的一个法向量为$\overrightarrow m=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则有$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{{A_1}B}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x_1}+{y_1}=0}\\{\sqrt{3}{x_1}-\sqrt{3}{z_1}=0}\end{array}}\right.$
令x₁=1，得${y_1}=-\sqrt{3}$，z₁=1
∴$\overrightarrow m=（1，-\sqrt{3}，1）$…（8分）
设平面A₁BC₁的法向量为$\overrightarrow n=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
则有$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{{A_1}{C_1}}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{{A_1}B}=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{2{y_2}=0}\\{\sqrt{3}{x_2}-\sqrt{3}{z_2}=0}\end{array}}\right.$
令x₂=1，则y₂=0，z₂=1，∴$\overrightarrow n=（1，0，1）$…（10分）
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{2}{{\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
∴所求二面角的大小为$arccos（-\frac{{\sqrt{10}}}{5}）$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．