Question

3．△ABC中，cosC是方程2x²-3x-2=0的一个根．
（1）求C的度数；
（2）当a+b=10时，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意和一元二次方程的解法求出cosC的值，由余弦函数的值域进行取舍；
（2）由（1）和余弦定理列出方程化简，由条件和基本不等式求出ab的范围，可求出c的范围，即可求出△ABC周长的最小值．

解答 解：（1）∵cosC是方程2x²-3x-2=0的一个根，
∴cosC=$-\frac{1}{2}$或cosC=2（舍去），
即cosC=$-\frac{1}{2}$；
（2）由（1）和余弦定理得，
c²=a²+b²-2abcosC，即c²=a²+b²+ab，
∵a+b=10，∴$ab≤（\frac{a+b}{2}）^{2}$=25，当且仅当a=b时取等号，
则c²=（a+b）²-ab=100-ab≥75，即c≥$5\sqrt{3}$，
∴△ABC周长的最小值是10+$5\sqrt{3}$．

点评 本题考查余弦定理，余弦函数的值域，以及基本不等式在求最值中的应用，考查化简、变形能力．