Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}+2}{2}，x≤1}\\{|lo{g}_{2}（x-1）|，x＞1}\end{array}\right.$，则函数F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零点个数是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 令t=f（x），F（x）=0，则f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0，分别作出y=f（x）和直线y=2x+$\frac{3}{2}$，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数．

解答 解：令t=f（x），F（x）=0，
则f（t）-2t-$\frac{3}{2}$=0，
分别作出y=f（x）和直线y=2x+$\frac{3}{2}$，
由图象可得有两个交点，横坐标设为t₁，t₂，
则t₁=0，1＜t₂＜2，
即有f（x）=0有一根；
1＜f（x）＜2时，t₂=f（x）有3个不等实根，
综上可得F（x）=0的实根个数为4，
即函数F（x）=f[f（x）]-2f（x）-$\frac{3}{2}$的零点个数是4．
故选：A．

点评 本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和换元法，以及数形结合思想方法，考查判断和观察能力，属于中档题．