Question

13．已知抛物线C：y²=2px（p＞0），过其焦点F的直线l交抛物线C于点A、B，|AF|=3|BF|，则|AB|=（　　）

• A． p
• B． $\frac{4}{3}p$
• C． 2p
• D． $\frac{8}{3}p$

Answer 1

分析 设抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l′：x=-$\frac{p}{2}$．如图所示，当直线AB的倾斜角为锐角时，分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于|AF|=3|BF|=$\frac{3}{4}$|AB|，可得|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=$\frac{1}{2}$|AB|，在Rt△ABC中，由|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|，可得∠BAC=60°．由于AM∥x轴，可得∠BAC=∠AFx=60°．即可得到k_AB=tan60°=$\sqrt{3}$，当直线AB的倾斜角为钝角时，同理可得．

解答 解：设抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l′：x=-$\frac{p}{2}$．
如图所示，
①当直线AB的倾斜角为锐角时，
分别过点A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足为M，N．
过点B作BC⊥AM交于点C．
则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵|AF|=3|BF|=$\frac{3}{4}$|AB|，
∴|AM|-|BN|=|AC|=|AF|-|BF|=$\frac{1}{2}$|AB|，
在Rt△ABC中，由|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|，可得∠BAC=60°．
∵AM∥x轴，∴∠BAC=∠AFx=60°．
∴k_AB=tan60°=$\sqrt{3}$，
直线方程为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），代入抛物线方程，可得3x²-5px+$\frac{3}{4}$p²=0，
∴|AB|=$\sqrt{1+3}•\sqrt{（\frac{5p}{3}）^{2}-{p}^{2}}$=$\frac{8}{3}$p，
②当直线AB的倾斜角为钝角时，可得k_AB=-$\sqrt{3}$．|AB|=$\frac{8}{3}$p
综上可知：|AB|=$\frac{8}{3}$p，
故选：D．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、含60°角的直角三角形的性质、直线的倾斜角与斜率、平行线的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．