Question

18．本学期，学校食堂为了更好地服务广大师生员工，对师生员工的主食购买情况做了一个调查（主食只供应米饭和面条，且就餐人数保持稳定），经调查统计发现凡是购买米饭的人下一次会有20%的人改买面条，而购买面条的人下一次会有30%的人改买米饭．若用a_n，b_n分别表示第n次购买米饭、面条的人员比例，假设第一次购买时比例恰好相等，即${a_1}={b_1}=\frac{1}{2}$
（1）求a_n+b_n的值
（2）写出数列{a_n}的递推关系式
（3）求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式，并指出随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条各大约多少份，才能使广大师生员工满意．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{2}×（1-20%）+\frac{1}{2}×30%$=$\frac{1}{2}（1+10%）$．同理可得：b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{1}{2}×（1-10%）$．n≥2时，a_n=a_n-1（1-20%）+b_n-1•30%，b_n=b_n-1•（1-30%）+a_n-1•20%．可得a_n+b_n=1．
（2）n≥2时，a_n=a_n-1（1-20%）+b_n-1•30%，化为：a_n=$\frac{4}{5}$a_n-1+$\frac{3}{10}{b}_{n-1}$．由（1）可得：b_n-1=1-a_n-1，即可得出．
（3）由（2）可得：a_n=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+$\frac{3}{10}$，变形为：a_n-$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{2}$$（{a}_{n-1}-\frac{3}{5}）$．利用等比数列的通项公式可得a_n-$\frac{3}{5}$．进而得到b_n=1-a_n．

解答 解：（1）由已知可得：a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{1}{2}×（1-20%）+\frac{1}{2}×30%$=$\frac{1}{2}（1+10%）$．
同理可得：b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{1}{2}×（1-30%）+\frac{1}{2}×20%$=$\frac{1}{2}×（1-10%）$．
n≥2时，a_n=a_n-1（1-20%）+b_n-1•30%，b_n=b_n-1•（1-30%）+a_n-1•20%．
∴a_n+b_n=a_n-1+b_n-1=…=a₁+b₁=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=1．
（2）n≥2时，a_n=a_n-1（1-20%）+b_n-1•30%，化为：a_n=$\frac{4}{5}$a_n-1+$\frac{3}{10}{b}_{n-1}$．
由（1）可得：b_n-1=1-a_n-1，
∴a_n=$\frac{4}{5}$a_n-1+$\frac{3}{10}$（1-a_n-1）=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+$\frac{3}{10}$．
（3）由（2）可得：a_n=$\frac{1}{2}{a}_{n-1}$+$\frac{3}{10}$，变形为：a_n-$\frac{3}{5}$=$\frac{1}{2}$$（{a}_{n-1}-\frac{3}{5}）$．
${a}_{1}-\frac{3}{5}$=-$\frac{1}{10}$，
∴数列{a_n-$\frac{3}{5}$}是等比数列，首项为-$\frac{1}{10}$，公比为$\frac{1}{2}$．
∴a_n-$\frac{3}{5}$=$-\frac{1}{10}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
即a_n=$\frac{3}{5}$$-\frac{1}{10}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴b_n=1-a_n=$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{10}×（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
n→+∞时，米饭a_n→$\frac{3}{5}×2000$=1200份，
面条b_n→$\frac{2}{5}×2000$=800份．
因此随着时间推移（假定就餐人数为2000）食堂的主食应该准备米饭和面条分别为1200、800份，才能使广大师生员工满意．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．