Question

1．已知函数f（x）=|log₃x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在[m²，n]的最大值为2，则$\frac{n}{m}$=9．

Answer 1

分析 由题意f（x）=|log₃x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），即-log₃m=log₃n，可得mn=1．对[m²，n]范围最大值的可能性进行讨论．可求m，n的值．

解答 解：∵f（x）=|log₃x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴-log₃m=log₃n，∴mn=1．
∵f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，函数f（x）在[m²，1）上是减函数，在（1，n]上是增函数，
∴-log₃m²=2，或log₃n=2．
若-log₃m²=2是最大值，得m=$\frac{1}{3}$，则n=3，此时log₃n=1，满足题意条件．那么：$\frac{n}{m}=3÷\frac{1}{3}=9$
同理：若log₃n=2是最大值，得n=9，则m=$\frac{1}{9}$，此时-log₃m²=4，不满足题意条件．
综合可得 m=$\frac{1}{3}$，n=3，故$\frac{n}{m}=9$，
故答案为9．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，难度不大，考虑最值的讨论思想．属于中档题．