Question

4．已知数列{a_n}是公差不为0的等差数列，首项a₁=1，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b_n=a_n+2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用等差数列与等比数的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由题设，${a_2}^2={a_1}{a_4}$，…（2分）
即（1+d）²=1+3d，解得d=0或d=1…（4分）
又∵d≠0，∴d=1，可以求得a_n=n…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}=n+{2^n}$，
${T_n}=（1+{2^1}）+（2+{2^2}）+（3+{2^3}）+…+（n+{2^n}）$=（1+2+3+…+n）+（2+2²+…+2ⁿ）=$\frac{n（n+1）}{2}+{2^{n+1}}-2$…（12分）

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．