Question

19．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F₁，F₂的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|-|BN|=12，则a=（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为2a，求出||AN|-|BN||，可得结论．

解答 解：设双曲线C的左右焦点分别为F₁，F₂，如图，
连接PF₁，PF₂，
∵F₁是MA的中点，P是MN的中点，
∴F₁P是△MAN的中位线，
∴|PF₁|=$\frac{1}{2}$|AN|，
同理|PF₂|=$\frac{1}{2}$|BN|，
∴||AN|-|BN||=2||PF₁|-|PF₂||，
∵P在双曲线上，
根据双曲线的定义知：||PF₁|-|PF₂||=2a，
∴||AN|-|BN||=4a=12，∴a=3．
故选A．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，同时考查三角形的中位线，运用定义法是解题的关键，属于中档题．