Question

2．若二项式${（{x-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^n}$的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为15．

Answer 1

分析 根据题意求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中常数项的值．

解答 解：由二项式${（{x-\frac{1}{{\sqrt{x}}}}）^n}$展开式中只有第4项的二项式系数最大，
即展开式有7项，∴n=6；
∴展开式中的通项公式为
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•x^{6-$\frac{3}{2}$r}；
令6-$\frac{3}{2}$r=0，求得r=4，
故展开式中的常数项为（-1）⁴•${C}_{6}^{4}$=15．
故答案为：15．

点评 本题主要考查了二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．