Question

已知函数f（x）=

1

2

x2-alnx（a∈R）．
（1）求函数f （x）的单调区间；
（2）求证：x＞1时，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3．

Answer 1

（1）依题意知函数的定义域为（0，+∞），因为f′(x)=x-

a

x

，
①当a≤0时，f′(x)=x-

a

x

＞0，所以f （x）的单调递增区间为（0，+∞）
②当a＞0时，因为f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

=

(x- a )(x+ a )

x

，
令f'（x）＞0，有x＞

a

；所以函数f （x）的单调递增区间为（

a

，+∞）；
令f'（x）＜0，有0＜x＜

a

．所以函数f （x）的单调递减区间为(0，

a

)．
（2）设g(x)=

2

3

x3-

1

2

x2-lnx，则g′(x)=2x2-x-

1

x

，
当x＞1时，g′(x)=

(x-1)(2x2+x+1)

x

＞0，
所以g （x）在（1，+∞）上是增函数，所以g(x)＞g(1)=

2

3

-

1

2

＞0
所以当x＞1时，

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3成立．