Question

14．已知点M（x，y）是平面直角坐标系上的一个动点，点M到直线x=-4的距离等于点M到点D（-1，0）的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）斜率为$\frac{1}{2}$的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点$P（1，\frac{3}{2}）$，设直线PA、PB的斜率分别为k_PA、k_PB，求k_PA+k_PB的数值；　
（3）试问：是否存在一个定圆N，与以动点M为圆心，以MD为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），由题意可得：$|{x+4}|=2\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}$，化简即可得出．
（2）方法是设直线l方程为$y=\frac{1}{2}x+m$（注意m≠1，知道为什么吗？），与曲线方程联立方程组，再利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．
（3）利用两圆相切的性质、椭圆的定义即可得出．

解答 解：（1）设M（x，y），由题意可得：
$|{x+4}|=2\sqrt{{{（x+1）}^2}+{y^2}}$，化简即得：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
方法是设直线l方程为$y=\frac{1}{2}x+m$（注意m≠1，知道为什么吗？），与曲线方程联立方程组，并消去y得．
（2）∵直线l的斜率为$\frac{1}{2}$，且不过$P（1，\frac{3}{2}）$点，
∴可设直线$l：y=\frac{1}{2}x+m$（且m≠1）．
联立方程组$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}}\right.$，得x²+mx+m²-3=0．
又交点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=-m}\\{{x_1}{x_2}={m^2}-3}\\{△＞0⇒-2＜m＜2}\end{array}}\right.$．
∴${k_{PA}}+{k_{PB}}=\frac{{{y_1}-\frac{3}{2}}}{{{x_1}-1}}+\frac{{{y_2}-\frac{3}{2}}}{{{x_2}-1}}=\frac{{{x_1}{x_2}+（m-2）（{x_1}+{x_2}）-2m+3}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}=0$．
（3）答：一定存在满足题意的定圆N，
理由：∵动圆M与定圆N相内切，∴两圆的圆心之间距离|MN|与其中一个圆的半径之和或差必为定值．
又D（1，0）恰好的是曲线（椭圆）C的右焦点，且M是曲线C上的动点，记曲线C的右焦点为F（1，0），
根据椭圆轨迹定义，|MF|+|MD|=4．
∴若定圆的圆心N与点F重合，定圆的半径为4时，则定圆N满足题意．
∴定圆N的方程为（x-1）²+y²=16．

点评 本题考查了椭圆与圆的定义标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．