Question

19．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a₁=1，第2个五角形数记作a₂=5，第3个五角形数记作a₃=12，第4个五角形数记作a₄=22，…，若按此规律继续下去，得数列{a_n}，则a_n-a_n-1=3n-2（n≥2）；对n∈N^*，a_n=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$．

Answer 1

分析 根据题目所给出的五角形数的前几项，发现该数列的特点是，从第二项起，每一个数与前一个数的差构成了一个等差数列，由此可得结论．

解答 解：a₂-a₁=5-1=4，
a₃-a₂=12-5=7，
a₄-a₃=22-12=10，…，
由此可知数列{a_n+1-a_n}构成以4为首项，以3为公差的等差数列．
所以a_n-a_n-1=3（n-1）+1=3n-2（n≥2）
迭加得：a_n-a₁=4+7+10+…+3n-2，
故a_n=1+4+7+10+…+3n-2=$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$，
故答案为：3n-2，$\frac{3{n}^{2}-n}{2}$

点评 本题考查了等差数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是能够由数列的前几项分析出数列的特点，属于中档题．