Question

4．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2-{（\frac{1}{2}）^x}，x≤0\\ \frac{1}{2}{x^2}-x+1，x＞0\end{array}\right.$．
（1）写出该函数的单调递减区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-m恰有1个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式f（x）≤n²-2bn+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据分段函数的表达式结合函数的单调性进行求解．
（2）利用函数与方程之间的关系转化为函数f（x）与y=m的交点问题进行求解，
（3）根据不等式恒成立，转化为为以B为变量的参数问题，结合一元一次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）当x≤0时，函数f（x）为增函数，
当x＞0时，函数的对称轴为x=1，则函数的单调递减区间是（0，1）； （2分）
（2）函数g（x）=f（x）-m恰有1个零点等价于直线y=m与函数y=f（x）的图象
恰有1个交点，$结合图形．f（0）=1，f（1）=\frac{1}{2}$，（4分）
∴$m∈（{-∞，\frac{1}{2}}）∪（{1，+∞}）$； （7分）
（3）若要使f（x）≤n²-2bn+1对所有x∈[-1，1]恒成立，
则需${[{f（x）}]_{max}}≤{n^2}-2bn+1$，
而[f（x）]_max=f（0）=1，（9分）
即n²-2kn+1≥1，∴-2nb+n²≥0在b∈[-1，1]恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}-2n×（{-1}）+{n^2}≥0\\-2n×1+{n^2}≥0\end{array}\right.$，（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}n≥0或n≤-2\\ n≤0或n≥2\end{array}\right.$，（11分）
∴n≤-2或n=0或n≥2．（12分）

点评 本题主要考查分段函数的应用以及不等式恒成立问题，利用数形结合是解决本题的关键．