Question

11．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中即会唱歌又会跳舞的人数，且$P（ξ＞0）=\frac{7}{10}$．
（1）求文娱队的队员人数；   
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则该演出队的总人数为（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2x）人，由已知得P（ξ=0）=1-P（ξ＞0）=1-$\frac{7}{10}$=$\frac{3}{10}$，由此能求出该演出队的总人数．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队的总人数为（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2x）人，
∵ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（ξ＞0）=$\frac{7}{10}$，
∴P（ξ=0）=1-P（ξ＞0）=1-$\frac{7}{10}$=$\frac{3}{10}$，
∴P（ξ=0）=$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，解得x=2，
∴该文娱队的总人数为5人．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，
P（ξ=0）=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

Eξ=$0×\frac{3}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．