[题目]已知半径为的球面上有两点.且.球心为.若是球面上的动点.且二面角的大小为.则四面体的外接球表面积为 . 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】已知半径为的球面上有两点，且，球心为，若是球面上的动点，且二面角的大小为，则四面体的外接球表面积为______.

【答案】

【解析】

设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，易知，，从而可知即为二面角的平面角，，进而可求出，，，由到三点的距离相等，可知四面体外接球的球心在射线上，设四面体外接球半径为，在中，由勾股定理，可得，可求出，进而求出外接球的表面积.

设所在截面圆的圆心为，中点为，连接，

则，所以，同理，所以即为二面角的平面角，.

因为，，所以是等腰直角三角形，所以.

在中，由，得，由勾股定理，得.

因为到三点的距离相等，所以四面体外接球的球心在射线上.

设四面体外接球半径为，在中，，，，由勾股定理，可得，即，解得，所以.

故答案为：.

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【题目】为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100的有40人；在45名女性驾驶员中，平均车速不超过100的有25人.

（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100的人与性别有关.

	平均车速超过100人数	平均车速不超过100人数	合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计

（2）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.

参考公式与数据：，其中

	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

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	2	3	4	6	8	10	13	21	22	23	24	25
	13	22	31	42	50	56	58	68.5	68	67.5	66	66

当时，建立了与的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定与满足的线性回归方程为：.

（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.

回归模型	模型①	模型②
回归方程
	182.4	79.2

（附：刻画回归效果的相关指数，.）

（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；

（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式；）

（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率大幅提高，服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.

（附：随机变量服从正态分布，则，.）

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