Question

2．设函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²
（1）求f（x）在点（-2，1）处的切线方程；
（2）若关于x的方程f（x）=x²+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出导数，求得切线的斜率，再由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．求导函数，确定函数在区间[0，2]上的单调性，为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，从而可建立不等式，由此可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²的导数为
f′（x）=2（1+x）-$\frac{2}{1+x}$，
即有f（x）在点（-2，1）处的切线斜率为k=-2+2=0，
则f（x）在点（-2，1）处的切线方程为y=1；
（2）方程f（x）=x²+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，
记g（x）=x-a+1-ln（1+x）²．
所以g′（x）=1-$\frac{2}{1+x}$=$\frac{x-1}{x+1}$．
由g′（x）＞0，得x＜-1或x＞1，由g′（x）＜0，得-1＜x＜1．
所以g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增，
为使f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰好有两个相异的实根，
只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实根，
于是有$\left\{\begin{array}{l}{g（0）≥0}\\{g（1）＜0}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+1≥0}\\{1-a+1-2ln2＜0}\\{2-a+1-2ln3≥0}\end{array}\right.$，
解得2-2ln2＜a≤3-2ln3．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，同时考查函数方程的转化思想和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题．