Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x²-ax+4（a＞0）；
（1）求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）当x∈[-3，3]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒小于1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，即有f（x）的极值；
（2）求出函数的导数，由题意可得f′（x）=$\frac{2}{3}$x-a＜1在x∈[-3，3]时恒成立，运用参数分离和一次函数的单调性可得最大值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x²-ax+4的导数为f′（x）=$\frac{2}{3}$x-a，
当x＞$\frac{3}{2}$a时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x＜$\frac{3}{2}$a时，f′（x）＜0，f（x）递减．
则f（x）的单调增区间为（$\frac{3}{2}$a，+∞），减区间为（-∞，$\frac{3}{2}$a），
f（x）有极小值，且为f（$\frac{3}{2}$a）=$\frac{16-3{a}^{2}}{4}$，无极大值；
（2）函数f（x）=$\frac{1}{3}$x²-ax+4的导数为f′（x）=$\frac{2}{3}$x-a，
函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒小于1，
即为f′（x）=$\frac{2}{3}$x-a＜1在x∈[-3，3]时恒成立，
即有a＞$\frac{2}{3}$x-1恒成立，
由y=$\frac{2}{3}$x-1在[-3，3]上递增，即有y的最大值为$\frac{2}{3}$×3-1=1，
则a＞1，
即实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，同时考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查运算能力，属于中档题．