Question

5．如图所示，四边形ABCD、ABEF都是矩形，它们所在的平面互相垂直，AD=AF=1，AB=2，点M、N分别在它们的对角线AC、BF上，且CM=BN=a（0＜a＜$\sqrt{5}$），当MN的长最小时，a的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{3}$

Answer 1

分析 作MO⊥AB垂足为O，连接ON，求出OM，ON，利用勾股定理计算MN，利用配方法，即可得出结论．

解答 解：如图所示，作MO⊥AB垂足为O，连接ON，则
∵四边形ABCD、ABEF都是矩形，点M、N分别在它们的对角线AC、BF上，且CM=BN=a（0＜a＜$\sqrt{5}$），
∴ON⊥AB，$\frac{OM}{1}=\frac{\sqrt{5}-a}{\sqrt{5}}$，$\frac{ON}{1}=\frac{a}{\sqrt{5}}$，
∴OM=$\frac{\sqrt{5}-a}{\sqrt{5}}$，ON=$\frac{a}{\sqrt{5}}$，
∵OM⊥ON，
∴MN=$\sqrt{（\frac{\sqrt{5}-a}{\sqrt{5}}）^{2}+（\frac{a}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{2（a-\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}+\frac{5}{2}}{5}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，MN的长最小，
故选：B．

点评 本题考查平面与平面垂直的性质，考查配方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．