Question

3．已知函数y=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求函数的单调增区间；
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，求函数值的取值范围；
（3）若将此图象向右平移θ（θ＞0）个单位后图象关于y轴对称，求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的增区间求得函数的单调增区间．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数值的取值范围．
（3）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得θ=$\frac{nπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，n∈z，可得θ的最小值．

解答 解：（1）对于函数y=3sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈z．
（2）当x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{3}{3}$，3]．
（3）若将此图象向右平移θ（θ＞0）个单位后，可得y=3sin[2（x-θ）+$\frac{π}{6}$]=3sin（2x+$\frac{π}{6}$+2θ）的图象．
再根据所得图象关于y轴对称，可得$\frac{π}{6}$+2θ=nπ+$\frac{π}{2}$，n∈z，即θ=$\frac{nπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，故θ的最小值为$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查正弦函数的增区间，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于中档题．