Question

18．计算：
（1）（2+$\frac{1}{3}$）+（4+$\frac{1}{9}$）+…+（2n+$\frac{1}{{3}^{n}}$）
（2）（a-1）+（a²-2）+…+（aⁿ-n）

Answer 1

分析 （1）分组分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出；
（2）对a分类讨论，分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）原式=（2+4+…+2n）+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{n（2+2n）}{2}$+$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=n²+n+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．
（2）当a=0时，原式=-1-2-…-n=$-\frac{n（n+1）}{2}$；
当n=1时，原式=（1-1）+（1-2）+…（1-n）=n$-\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n-{n}^{2}}{2}$；
当n≠0，1时，原式=（a+a²+…+aⁿ）+（-1-2-…-n）=$\frac{a（{a}^{n}-1）}{a-1}$-$\frac{n（1+n）}{2}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．