Question

8．已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，离心率等于$\frac{1}{2}$，它的两个顶点恰好是双曲线$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P（2，3），Q（2，-3），在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，
①若直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A，B运动时，满足于∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意和双曲线可得b值，进而由离心率和系数的关系可a值，可得椭圆C的方程；
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=$\frac{1}{2}$x+t，代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$消y并整理可得x的二次方程，由韦达定理可得面积S的表达式，由二次函数的最值可得；②设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，分别联立直线和椭圆的方程由韦达定理可得x₁+2=$\frac{8（2k-3）k}{3+4{k}^{2}}$，x₂+2=$\frac{8k（2k+3）}{3+4{k}^{2}}$，可得x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-48k}{3+4{k}^{2}}$，代入斜率公式计算可得定值．

解答 解：（1）由题意设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
又可得双曲线$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1的焦点为（0，±2$\sqrt{3}$），
∴b=2$\sqrt{3}$，又离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解得a=4，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=$\frac{1}{2}$x+t，
代入$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$消y并整理可得x²+tx+t²-12=0，
由△=t²-4（t²-12）＞0可解得-4＜t＜4，
由韦达定理可得x₁+x₂=-t，x₁x₂=t²-12，
四边形APBQ的面积S=$\frac{1}{2}$×6×|x₁-x₂|=3$\sqrt{48-3{t}^{2}}$，
由二次函数可知当t=0时，S取最大值12$\sqrt{3}$
②当∠APQ=∠BPQ时，直线PA和PB的斜率之和为0，
设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，
∴直线PA的方程为y-3=k（x-2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y-3=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$消去y并整理可得（3+4k²）x²+8（3-2k）kx+4（3-2k）²-48=0
由韦达定理可得x₁+2=$\frac{8（2k-3）k}{3+4{k}^{2}}$，
理可得直线PB：y-3=-k（x-2），可得x₂+2=$\frac{-8k（-2k-3）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{8k（2k+3）}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₁+x₂=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，x₁-x₂=$\frac{-48k}{3+4{k}^{2}}$，
k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）+3-k（{x}_{2}-2）-3}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直线AB的斜率为定值$\frac{1}{2}$

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及圆锥曲线的取值范围和最值，属难题．