Question

11．已知方程x²+bx+a=0有一个根为x=-1，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 先把x=1代入方程的x²+bx+a=0得到b=a+1，再根据二次函数的性质求出a²+b²的最小值．

解答 解：∵x=1是方程的x²+bx+a=0的一个根，
∴b=a+1，
∴a²+b²=a²+（a+1）²=2a²+2a+1，
设f（a）=2a²+2a+1，开口向上，对称轴为a=-$\frac{1}{2}$，
∴f（a）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=2×（-$\frac{1}{2}$）²+2×（-$\frac{1}{2}$）+1=$\frac{1}{2}$，
∴a²+b²的最小值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了二次函数的图象和性质以及方程的根的问题，属于基础题．