Question

16．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x-sinx，则f（x）在[0，π]上的值域为[$\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 先求原函数的导数，研究函数的单调性，然后据单调性求出函数的值域．

解答 解：由题意得$f′（x）=\frac{1}{2}-cosx$，令f′（x）=0得x=$\frac{π}{3}$，
易知当x$∈[0，\frac{π}{3}）$时，f′（x）＜0，此时f（x）递减；
当x∈$（\frac{π}{3}，π]$时，f′（x）＞0，此时f（x）递增．
故f（x）_min=f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$；因为f（0）=0，f（π）=$\frac{π}{2}$．
故函数f（x）的值域为$[\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{π}{2}]$．
故答案为$[\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{π}{2}]$．

点评 本题考查了函数值域的求法，以及利用导数研究函数的单调性方法．属于基础题．