Question

4．证明：$\frac{1}{3-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由于3ⁿ-1≥2•3^n-1，即$\frac{1}{{3}^{n}-1}$≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1，运用等比数列的求和公式和不等式的性质，相加即可得证．

解答 证明：由于3ⁿ-1-2•3^n-1=3^n-1-1≥0，（n∈N⁺）
即有3ⁿ-1≥2•3^n-1，
即$\frac{1}{{3}^{n}-1}$≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
即有$\frac{1}{3-1}$≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{3}^{2}-1}$＜$\frac{1}{2}•\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{{3}^{3}-1}$＜$\frac{1}{2}•\frac{1}{9}$，…，$\frac{1}{{3}^{n}-1}$≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$）^n-1，
相加即为：$\frac{1}{3-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{1}{2}$×（1$+\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）
=$\frac{1}{2}×$$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}$（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）＜$\frac{3}{4}$．
即有$\frac{1}{3-1}$+$\frac{1}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-1}$＜$\frac{3}{4}$成立．

点评 本题考查数列不等式的证明，主要考查放缩法证明不等式，构造等比数列和运用等比数列的求和公式是解题的关键．