Question

12．已知椭圆C₁与双曲线C₂有公共焦点（±c，0）（c＞0），C₁与C₂的离心率之差不超过1，且C₂有一条渐近线斜率不小于$\frac{4}{3}$，C₁，C₂与x轴正半轴分别交于A，B，且两曲线在第一象限交点为D，设△ABD的面积为S，当S取最大值时，此时曲线C₁，C₂的离心率分别是$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 设椭圆C₁与双曲线C₂的离心率分别为e₁，e₂，设出椭圆和双曲线的方程，求得渐近线方程，由条件求得△ABD的面积，根据离心率公式和C₁与C₂的离心率之差不超过1，且C₂有一条渐近线斜率不小于$\frac{4}{3}$，化简整理，即可得到所求离心率．

解答 解：设椭圆C₁与双曲线C₂的离心率分别为e₁，e₂，
椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0），
渐近线方程为y=±$\frac{n}{m}$x，（$\frac{n}{m}$≥$\frac{4}{3}$），
设A（a，0），B（m，0），D（x₀，y₀），
即有S=$\frac{1}{2}$（a-m）y₀，
e₁=$\frac{c}{a}$，e₂=$\frac{c}{m}$，e₂-e₁≤1，
联立椭圆方程和双曲线方程，
解得交点D为（$\frac{ma}{c}$，$\frac{nb}{c}$），
即有S=$\frac{1}{2}$（a-m）y₀=$\frac{1}{2}$（a-m）•$\frac{nb}{c}$
由于a²-b²=c²，m²+n²=c²，
由S²=$\frac{1}{4}$（a-m）²•$\frac{（{a}^{2}-{c}^{2}）（{c}^{2}-{m}^{2}）}{{c}^{2}}$
由于$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{c}$，
由$\frac{n}{m}$≥$\frac{4}{3}$，即n≥$\frac{4}{3}$m，
由m²+n²=c²≥m²+$\frac{16}{9}$m²，即c≥$\frac{5}{3}$m，
即有e₂≥$\frac{5}{3}$，e₁≥e₂-1≥$\frac{2}{3}$，
即有c≥$\frac{2}{3}$a，
当a=$\frac{3}{2}$c，m=$\frac{3}{5}$c时，S²取得最大．
则有e₁=$\frac{2}{3}$，e₂=$\frac{5}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率的求法和渐近线方程的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．