Question

6．在三棱锥D-ABC中，∠DAC=∠BAC=60°，AC=1，BA=2，AD=3，AC⊥BC，
（1）求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$之值，并说明AC与BD所成的角θ，随BD长度增大，如何变化？
（2）判断点D在平面ABC上的射影是否可能在BC上，为什么？

Answer 1

分析 （1）将$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$转化为$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$计算即可，再根据向量积与余弦函数的单调性可知随BD长度增大，θ也增大．
（2）反证法，假设点D在平面ABC上的射影在BC上，则有$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，这与$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$矛盾，故不可能在BC上．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AC}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$
=$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$
=$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}}\end{array}|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}＞$-$|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}}\end{array}|cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AB}＞$
=$1×3×\frac{1}{2}-1×2×\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$；
又$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}=|\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}}\end{array}||\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}}\end{array}|cosθ$，AC=1，
所以cosθ=$\frac{1}{2|\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}}\end{array}|}$，
因为0≤θ≤π，y=cosθ在[0，π]上单调递减，
所以随BD长度增大，cosθ减小，故θ增大．
（2）不可能．
证明：假设点D在平面ABC上的射影在BC上，
则有AC⊥BD，
从而有$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=0，这与$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$矛盾，
所以点D在平面ABC上的射影不可能在BC上．

点评 本题考查向量积的运算及其几何意义，以及反证法，属中档题．