Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图①、②、③、④为她们的刺绣中最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

(1)求出f(5)；

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．

Answer 1

解：(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，

∴f(5)＝25＋4×4＝41. ．---------5分

 (2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1.

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4.

由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.    ．---------8分

∴f(2)－f(1)＝4×1，

f(3)－f(2)＝4×2，

f(4)－f(3)＝4×3，

……

f(n－1)－f(n－2)＝4(n－2)，

f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，（n≥2,n∈ N+时）

∴ f(n)－f(1)＝4＝2n(n－1)，

∴f(n)＝2n2－2n＋1.(n≥2且n∈ N+ )     ．---------12分

又 f(1)=1满足上式

∴f(n)=2n2-2n+1  (n∈N+  )