Question

9．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 以O为原点，OA为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BM与平面PCO所成角的正弦值．

解答 解：以O为原点，OA为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（1，2，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），C（-1，2，0），M（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），O（0，0，0），
$\overrightarrow{OP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OC}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{BM}$=（-$\frac{3}{2}$，-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面PCO的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{n}=-x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，0），
设直线BM与平面PCO所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BM}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{4}•\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴直线BM与平面PCO所成角的正弦值是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．