Question

4．已知抛物线y=-2x²+x-$\frac{1}{8}$和点A（$\frac{1}{4}$，$\frac{11}{8}$）．过点F（$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）任作直线，交抛物线于B，C两点．
（1）求△ABC的重心轨迹方程，并表示y=f（x）形式；
（2）若数列{x_k}，0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，满足x_k+1=f（x_k）．求证：$\sum_{k=1}^{n}$x_k+1^k＜$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 （1）过点F（$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）任作直线y=k（x-$\frac{1}{4}$）-$\frac{1}{8}$，代入y=-2x²+x-$\frac{1}{8}$，整理，利用重心坐标公式，即可求△ABC的重心轨迹方程，并表示y=f（x）形式；
（2）证明0＜x_k＜$\frac{3}{8}$（k=2，3，…），再利用放缩法即可证明结论．

解答 （1）解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），重心G（x，y），过点F（$\frac{1}{4}$，-$\frac{1}{8}$）任作直线y=k（x-$\frac{1}{4}$）-$\frac{1}{8}$，
代入y=-2x²+x-$\frac{1}{8}$，整理可得2x²+（k-1）x-$\frac{k}{4}$=0，∴x₁+x₂=$\frac{1-k}{2}$，y₁+y₂=-$\frac{2{k}^{2}+1}{4}$，
∴3x=$\frac{1-k}{2}$+$\frac{1}{4}$，3y=-$\frac{2{k}^{2}+1}{4}$+$\frac{11}{8}$，
∴y=-6x²+3x；
（2）证明：∵0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，x_k+1=f（x_k）=-6x_k²+3x_k．
∴0＜x₂=-6x₁²+3x₁=-6（x₁-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{3}{8}$；
假设0＜x_k＜$\frac{3}{8}$成立，则0＜x_k+1=-3x_k（1-2x_k）≤$\frac{3}{2}•[\frac{2{x}_{k}+（1-2{x}_{k}）}{2}]^{2}$=$\frac{3}{8}$，
当且仅当x_k=$\frac{1}{4}$等号成立，
∴0＜x_k＜$\frac{3}{8}$（k=2，3，…），
∴$\sum_{k=1}^{n}$x_k+1^k≤$\sum_{k=1}^{n}$（$\frac{3}{8}$）^k=$\frac{3}{5}$[1-（$\frac{3}{8}$）ⁿ]＜$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．