【题目】已知,其对称轴为
,且
.
(1)求的解析式;
(2)若对任意及任意
,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由二次函数的对称轴可得出
的值,再由
可求出实数
的值,从而可得出函数
的解析式;
(2)由题意知,对任意的及任意
,不等式
恒成立,可得出
和
均满足不等式,由此可得出不等式组
对任意的
恒成立,利用参变量分离法得出
,分别求出函数
、
在区间
的最小值,可解出实数
的取值范围.
(1)二次函数的对称轴为直线
,得
,
则,又
,
;
(2)由题意知,不等式对任意的
及任意
恒成立,构造函数
,
由题意可得对任意的
恒成立,
所以对任意的
恒成立,
对于函数,当
时,由基本不等式得
,当且仅当
时,等号成立,所以
在区间
上的最小值为
,
,得
;
由于函数在区间
上单调递增,则当
时,函数
取得最小值
,
,解得
.
综上所述,实数的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(其中
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线
的极坐标方程为
.
(1)把曲线的方程化为普通方程,
的方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线,
相交于
两点,
的中点为
,过点
做曲线
的垂线交曲线
于
两点,求
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】双曲线的方程是-y2=1.
(1)直线l的倾斜角为,被双曲线截得的弦长为
,求直线l的方程;
(2)过点P(3,1)作直线l′,使其被双曲线截得的弦恰被P点平分,求直线l′的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数
.若曲线
在点
处的切线方程为
(
为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式
在(0,+
)上恒成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给出下列三个命题,其中所有错误命题的序号是______.
抛物线
的准线方程为
;
过点
作与抛物线
只有一个公共点的直线t仅有1条;
是抛物线
上一动点,以P为圆心作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个定点
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某重点中学将全部高一新生分成A,B两个成绩相当(成绩的均值、方差都相同)的级部,A级部采用传统形式的教学方式,B级部采用新型的基于信息化的自主学习教学方式.期末考试后分别从两个级部中各随机抽取100名学生的数学成绩进行统计,得到如下数据:
A级部教学 成绩分组 | ||||||
频数 | 18 | 23 | 29 | 23 | 6 | 1 |
B级部教学 成绩分组 | ||||||
频数 | 8 | 16 | 24 | 28 | 21 | 3 |
若成绩不低于130分者为“优秀”.
根据上表数据分别估计A,B两个级部“优秀”的概率;
(2)填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为“优秀”与教学方式有关?
是否优秀 级部 | 优秀 | 不优秀 | 合计 |
A级部 | |||
B级部 | |||
合计 |
(3)根据上表数据完成下面的频率分布直方图,并根据频率分布直方图,分别求出A,B两个级部的中位数的估计值(精确到);请根据以上计算结果初步分析A,B两个级部的教学成绩的优劣.
附表:
附:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为
(
为参数),以平面直角坐标系
的原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程及曲线
上的动点
到坐标原点
的距离
的最大值;
(Ⅱ)若曲线与曲线
相交于
,
两点,且与
轴相交于点
,求
的值.
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