Question

已知定点G（-3，0），S是圆C：（X-3）²+y²=72（C为圆心）上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E．设点E的轨迹为M．
（1）求M的方程；
（2）是否存在斜率为1的直线，使得直线与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6

2

的椭圆，由此能求出动点E的轨迹方程．
（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，其方程为y=x+m，由

y=x+m x2 18 + y2 9 =1

，得3x²+4mx+2m²-18=0．由此能求出符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为y=x+2

3

或y=x-2

3

．

解答： 解：（1）由题知|EG|=|ES|，
∴|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6

2

．
又∵|GC|=6＜6

2

，
∴点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6

2

的椭圆，
∴动点E的轨迹方程为

x2

18

+

y2

9

=1．…（4分）
（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
其方程为y=x+m，
由

y=x+m x2 18 + y2 9 =1

消去y，化简得3x²+4mx+2m²-18=0．
∵直线l与椭圆C相交于A，B两点，
∴△=16m²-12（2m²-18）＞0，
化简得m²＜27，解得-3

3

＜m＜3

3

．…（6分）
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁•x₂=

2(m2-9)

3

．
∵以线段AB为直径的圆恰好经过原点，
∴

OA

•

OB

=0，所以x₁x₂+y₁y₂=0．…（8分）
又y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=

4(m2-9)

3

-

4m2

3

+m²=0，
解得m=±2

3

．…（11分）
由于±2

3

∈（-3

3

，3

3

），
∴符合题意的直线l存在，
所求的直线l的方程为y=x+2

3

或y=x-2

3

．…（13分）

点评：本题考查点的方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．