Question

5．南宋数学家杨辉研究了垛积与各类多面体体积的联系，由多面体体积公式导出相应的垛积术公式．例如方亭（正四梭台）体积为V=$\frac{h}{3}$（a²+b²+ab）其中a为上底边长，b为下底边长，h为高．杨辉利用沈括隙积术的基础上想到：若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a个球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n层，最下层（即下底）由b×b个球组成，杨辉给出求方垛中物体总数的公式如下：S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$）．根据以上材料，我们可得1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 由题意，在S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$）中，令a=1，b=n，代入即可求出对应的结果．

解答 解：由题意，在S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$）中，
令a=1，b=n，
则S=$\frac{n}{3}$（1²+n²+1•n+$\frac{n-1}{2}$）
=$\frac{n}{6}$（n+1）（2n+1）
=1²+2²+…+n²．
故答案为：$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

点评 本题考查了类比推理的应用问题，是基础题目．