Question

17．已知两定点A（-2，0），B（1，0），若圆心在直线x-y-1=0上且半径为1的动圆P上存在一点Q满足|QA|=2|QB|，则点P横坐标a的取值范围为$\frac{3-\sqrt{17}}{2}≤a≤1$或2≤a≤$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$．

Answer 1

分析 求出点Q的轨迹为圆，Q在圆P上，也在圆（x-2）²+y²=4上，所以两圆有公共点，即可得出结论．

解答 解：设Q点的坐标为（x，y），则（x+2）²+y²=4[（x-1）²+y²]，即（x-2）²+y²=4，所以点Q的轨迹为圆，
而P在直线x-y-1=0上，所以P（a，a-1），所以圆P的方程为（x-a）²+（y-a+1）²=1，
而Q在圆P上，也在圆（x-2）²+y²=4上，所以两圆有公共点，所以2-1≤$\sqrt{（a-2）^{2}+（a-1）^{2}}$≤2+1，
从而解得$\frac{3-\sqrt{17}}{2}≤a≤1$或2≤a≤$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
故a的范围为：$\frac{3-\sqrt{17}}{2}≤a≤1$或2≤a≤$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$．
故答案为$\frac{3-\sqrt{17}}{2}≤a≤1$或2≤a≤$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．