Question

2．已知过双曲线$\frac{x^2}{4}$-y²=1的右焦点作直线l与双曲线交于A，B两点，若有且仅存在三条直线使得|AB|=a，则实数a的取值范围为{4}．

Answer 1

分析 利用实数a使得|AB|=a的直线l恰有3条，根据对称性，其中有一条直线是x轴，|AB|=4，另两条与右支相交，即可得到结论．

解答 解：双曲线的两个顶点之间的距离是4，A，B的横坐标为$\sqrt{5}$，代入双曲线方程，可得y=±$\frac{1}{2}$，故|AB|=1，
∵实数a使得|AB|=a的直线l恰有3条，
∴根据对称性，其中有一条直线是x轴，|AB|=4，另两条与右支相交，
综上可知，|AB|=4时，有三条直线满足题意，
∴a=4，
故答案为：{4}．

点评 本题考查直线与双曲线之间的关系问题，本题解题的关键是判定有一条直线是x轴，|AB|=4，另两条与右支相交．