Question

11．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，且x=$\frac{π}{12}$为f（x）图象的一条对称轴．
（1）求ω和φ的值；
（2）设函数g（x）=f（x）+f（x-$\frac{π}{6}$），求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）的最小正周期求出ω的值，再根据f（x）图象的对称轴求出φ的值；
（2）根据f（x）的解析式写出g（x），利用三角恒等变换化g（x）为正弦型函数，
再求出它的单调递减区间．

解答 解：（1）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2；
又x=$\frac{π}{12}$为f（x）图象的一条对称轴，
∴2x+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴f（x）图象的对称轴是x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$，k∈Z；
由$\frac{π}{12}$=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$-$\frac{φ}{2}$，
解得φ=kπ+$\frac{π}{3}$，
又|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$；
（2）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=f（x）+f（x-$\frac{π}{6}$）
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin2x
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+sin2x
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴g（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题目．