Question

14．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，则f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． [3k-$\frac{3}{2}$，3k]，k∈Z
• B． [3k，3k+$\frac{3}{2}$]，k∈Z
• C． [3kπ-$\frac{3}{2}$，3kπ]，k∈Z
• D． [3kπ，3kπ+$\frac{3}{2}$]，k∈Z

Answer 1

分析 三角函数的图象与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，至少提供两个方面的信息：
①第一个交点与第三个交点的差是一个周期；
②第一个交点与第二个交点的中点横坐标对应的函数值是最大值或最小值；
从这两个方面考虑求得参数ω，φ，从而利用三角函数的单调性求答案．

解答 解：与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4，
知函数的周期为T=$\frac{2π}{ω}$=4-1=3，
解得ω=$\frac{2π}{3}$；
再由三角函数的图象与直线y=b（0＜b＜A）知：
1与2的中点必为函数的最大值的横坐标，
由五点法知$\frac{2π}{3}$×$\frac{3}{2}$+φ=$\frac{π}{2}$，
解得φ=-$\frac{π}{2}$；
∴f（x）=Asin（$\frac{2π}{3}$x-$\frac{π}{2}$）=-Acos（$\frac{2π}{3}$x），
令2kπ≤$\frac{2π}{3}$x≤2kπ+π，k∈Z，
解得3k≤x≤3k+$\frac{3}{2}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间是[3k，3k+$\frac{3}{2}$]，（k∈Z）．
故选：B．

点评 本题考查了三角函数的解析式以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．