Question

2．函数f（x）=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{co{s}^{2}x}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用“乘1法”与基本不等式的性质、三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：f（x）=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{co{s}^{2}x}$=（sin²x+cos²x）$（\frac{2}{si{n}^{2}x}+\frac{1}{co{s}^{2}x}）$=3+$\frac{2co{s}^{2}x}{si{n}^{2}x}+\frac{si{n}^{2}x}{co{s}^{2}x}$≥3+2$\sqrt{2}$，当且仅当$tanx=±\sqrt{2}$时取等号．
∴函数f（x）=$\frac{2}{si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{co{s}^{2}x}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$，
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．