Question

11．已知向量$\overrightarrow a=（4，-2）$，$\overrightarrow b=（x，1）$．
（Ⅰ）若 $\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$共线，求x的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，求x的值；
（Ⅲ）当x=2时，求$\overrightarrow a$与$2\overrightarrow b+\overrightarrow a$夹角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，由向量平行的坐标公式可得-2x=4，解可得x的值，即可得答案；
（Ⅱ）若$\vec a⊥\vec b$，则有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，结合向量数量积的坐标可得4×x+（-2）×1=0，即4x-2=0，解可得x的值，即可得答案；
（Ⅲ）根据题意，由x的值可得$\overrightarrow{b}$的坐标，由向量的坐标计算公式可得|$\overrightarrow{a}$|、|2$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$|和$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$）的值，结合$cosθ=\frac{\vec a•（2\vec b+\overrightarrow a）}{{|{\vec a}|•|{2\vec b+\overrightarrow a}|}}$，计算可得答案．

解答 解：（ I）根据题意，向量$\overrightarrow a=（4，-2）$，$\overrightarrow b=（x，1）$，
若$\vec a与\vec b共线$，则有-2x=4，解可得x=-2．
（ II）若$\vec a⊥\vec b$，则有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
又由向量$\overrightarrow a=（4，-2）$，$\overrightarrow b=（x，1）$，
则有4×x+（-2）×1=0，即4x-2=0，
解可得$x=\frac{1}{2}$，
（ III）根据题意，若$x=2，\vec b=（2，1）$，
则有$2\vec b+\overrightarrow a$=（8，0），$|{\vec a}|=\sqrt{{4^2}+{{（-2）}^2}}=2\sqrt{5}，|{2\vec b+\overrightarrow a}|=\sqrt{{8^2}+0}=8$
$又∵\vec a•（2\vec b+\overrightarrow a）=32$，
∴$cosθ=\frac{\vec a•（2\vec b+\overrightarrow a）}{{|{\vec a}|•|{2\vec b+\overrightarrow a}|}}=\frac{32}{{16\sqrt{5}}}=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查向量的数量积的运算，涉及平面向量的坐标计算，