Question

19．已知函数f（x），定义$F（f（x））=\left\{\begin{array}{l}1，x＜f（x）\\ 0，x=f（x）\\-1，x＞f（x）.\end{array}\right.$
（Ⅰ）写出函数F（2x-1）的解析式；
（Ⅱ）若F（|x-a|）+F（2x-1）=0，求实数a的值；
（Ⅲ）当$x∈[\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π]$时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由新定义，讨论2x-1＞x，2x-1=x，2x-1＜x，解不等式即可得到所求函数F（2x-1）；
（Ⅱ）讨论x＞1，x=1，x＜1，由F（2x-1），求得F（|x-a|），运用恒成立思想，即可得到a的值；
（Ⅲ）由h（x）=0可得cosx=0或F（x+sinx）=0，结合新定义和三角函数的图象与性质，可得零点个数；由x+sinx＞x，x+sinx=x，x+sinx＜x，化简h（x），分别求得值域，即可得到所求h（x）在$x∈[\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π]$时的值域．

解答 解：（Ⅰ）定义$F（f（x））=\left\{\begin{array}{l}1，x＜f（x）\\ 0，x=f（x）\\-1，x＞f（x）.\end{array}\right.$，
当2x-1＞x，可得x＞1，则F（2x-1）=1；
当2x-1=x，可得x=1，则F（2x-1）=0；
当2x-1＜x，可得x＜1，则F（2x-1）=-1；
可得F（2x-1）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞1}\\{0，x=1}\\{-1，x＜1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）当x＞1时，F（2x-1）=1，F（|x-a|）=-1，
即有|x-a|＜x恒成立，即为a²≤2ax在x＞1恒成立，
即有a²≤2a，解得0≤a≤2；
当x=1时，F（2x-1）=0，F（|x-a|）=0，
可得|1-a|=1，解得a=0或2；
当x＜1时，F（2x-1）=-1，F（|x-a|）=1，
即有|x-a|＞x恒成立，即为a²≥2ax在x＜1恒成立，
即有a²≥2a，解得a≥2或a≤0；
则a的值为0或2；
（Ⅲ）当$x∈[\frac{π}{3}，\frac{4}{3}π]$时，h（x）=cosx•F（x+sinx）=0，
可得cosx=0或F（x+sinx）=0，
即有x=$\frac{π}{2}$；x+sinx=x，即sinx=0，解得x=π，
则h（x）的零点个数为2；
当x+sinx＞x，即$\frac{π}{3}$≤x＜π时，h（x）=cosx∈（-1，$\frac{1}{2}$]；
当x+sinx=x，即x=π时，h（x）=0；
当x+sinx＜x，即π＜x≤$\frac{4π}{3}$时，h（x）=-cosx∈[$\frac{1}{2}$，1）．
综上可得，h（x）的值域为（-1，1）．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想方法，以及不等式的解法和正弦函数、余弦函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．