Question

7．已知a＞0且a≠1，设p：函数y=log_a（x+1）在区间（0，+∞）内单调递减；q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点，如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 由“函数y=log_a（x+1）在区间（0，+∞）内单调递减”，可知p：0＜a＜1．由“曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点”，可得△＞0．因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，所以p与q恰好一真一假，即可得出．

解答 解：由“函数y=log_a（x+1）在区间（0，+∞）内单调递减”，
可知p：0＜a＜1，
由“曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点”，∴△=（2a-3）²-4＞0，a＞0，a≠1．
可知$q：a＞\frac{5}{2}$或$0＜a＜\frac{1}{2}$，
因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
所以p与q恰好一真一假，
当p真，q假时，$a∈（{0，1}）∩[{\frac{1}{2}，\frac{5}{2}}]$，即$a∈[{\frac{1}{2}，1}）$．
当p假，q真时，$a∈（{1，+∞}）∩（{（{0，\frac{1}{2}}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）}）$，即$a∈（{\frac{5}{2}，+∞}）$．
综上可知，a的取值范围为：$[{\frac{1}{2}，1}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）$．

点评 本题考查了函数的性质、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．