Question

20．已知△ABC的面积满足$\sqrt{3}$≤S≤3，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=6．
（1）求∠B的取值范围；
（2）求函数f（B）=sin²B+2sinBcosB+3cos²B的最小值．

Answer 1

分析 （1）由△ABC的面积公式和平面向量的数量积公式，得出S=-3tanB，
结合正切函数的单调性及B为三角形内角，求出B的取值范围；
（2）化简函数f（B），根据B的取值范围即可求出f（x）的最小值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{BC}$|cos（π-B）=6①
S=$\frac{1}{2}$×|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{BC}$|sinB②；
由①、②得，S=-3tanB．
由$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤-tanB≤$\sqrt{3}$可得，
又0＜B＜π，
所以B∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]；
（2）f（B）=sin²B+2sinBcosB+3cos²B
=1+sin2B+2cos²B
=1+sin2B+2×$\frac{1+cos2B}{2}$
=sin2B+cos2B+2
=$\sqrt{2}$sin（2B+$\frac{π}{4}$）+2
B∈[$\frac{2π}{3}$$\frac{5π}{6}$]2B+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{19π}{12}$$\frac{23π}{12}$]
f（B）=sin（2B+$\frac{π}{4}$）是单调增函数，
∴f（B）的最小值$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式与平面向量数量积公式的应用问题，也考查了三角函数的化简与求最值问题，是综合性题目．