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已知函数f(x)=log9(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=
1
2
x+b
没有交点,求b的取值范围;
(3)设h(x)=log9(a•3x-
4
3
a)
,若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
(1)因为y=f(x)为偶函数,所以?x∈R,f(-x)=f(x),
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx对于?x∈R恒成立.
2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9
9x+1
9x
-log9(9x+1)=-x
恒成立
即(2k+1)x=0恒成立,
而x不恒为零,所以k=-
1
2

(2)由题意知方程log9(9x+1)-
1
2
x=
1
2
x+b
即方程log9(9x+1)-x=b无解.
令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.
因为g(x)=log9
9x+1
9x
=log9(1+
1
9x
)

任取x1、x2∈R,且x1<x2,则0<9x19x2,从而
1
9x1
1
9x2

于是log9(1+
1
9x1
)>log9(1+
1
9x2
)
,即g(x1)>g(x2),
所以g(x)在(-∞,+∞)是单调减函数.
因为1+
1
9x
>1
,所以g(x)=log9(1+
1
9x
)>0
.所以b的取值范围是(-∞,0].
(3)由题意知方程3x+
1
3x
=a•3x-
4
3
a
有且只有一个实数根.
令3x=t>0,则关于t的方程(a-1)t2-
4
3
at-1=0
(记为(*))有且只有一个正根.
若a=1,则t=-
3
4
,不合,舍去;
若a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根.
△=0⇒a=
3
4
或-3;但a=
3
4
⇒t=-
1
2
,不合,舍去;而a=-3⇒t=
1
2

方程(*)的两根异号?(a-1)•(-1)<0,即-a+1<0,解得:a>1.
综上所述,实数a的取值范围{-3}∪(1,+∞).
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