Question

已知数列中，，，是数列的前项和，且，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）若 是数列的前项和，且对一切都成立，求实数取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ），.     （Ⅲ）      

，考查数列中的关系，，
裂项求和法，得因为对一切都成立，恒成立求实数的取值范围时，一般分离参数，再在最值处成立即可
解：（Ⅰ）因为，，所以      ……..  3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ， 所以
所以所以
所以当时，
所以，，，，所以
所以，. 因为满足上式，
所以，.                …………..  6分
（Ⅲ）当时，  ……………..  7分
又，      所以
              …………….. 9分
所以               …………..  10分
因为对一切都成立，
即对一切都成立.
所以.                        ………………..  12分
因为，当且仅当，即时等号成立.
所以. 所以   所以