Question

【题目】已知椭圆E: 经过点P(2,1)，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。

（Ⅰ）由椭圆的离心率e=，则a2=4b2， 将P（2，1）代入椭圆，则，解得：b2=2，则a2=8， ∴椭圆的方程为： ；

（Ⅱ）当M，N分别是短轴的端点时，显然直线AB为y轴，所以若直线过定点，这个定点一点在y轴上，

当M，N不是短轴的端点时，设直线AB的方程为y=kx+t，设A（x1，y1）、B（x2，y2），

由消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，·则△=16（8k2﹣t2+2）＞0，

x1+x2=，x1x2=，

又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），

因此M点坐标为（0， ），同理可知：N（0， ），

由，则+=0，

化简整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0，

则（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（）+8t=0，

当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.