Question

18．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且三棱柱的体积为$\frac{9}{4}$，则球O的表面积为7π．

Answer 1

分析 通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，设出三棱柱的底面边长，由棱柱的体积公式得到三棱柱的底面边长，可得球的半径，由球的表面积求出球的表面积．

解答 解：如图，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，
∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，
设三棱柱的底面边长为a，则
∵三棱柱的体积为$\frac{9}{4}$，∴$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}•a$=$\frac{9}{4}$，∴a=$\sqrt{3}$．
设球的半径为r，上底面所在圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=1，且球心O到上底面中心H的距离OH=$\frac{a}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴r=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴球O的表面积为4πr²=7π
故答案为：7π

点评 本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．