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    13．某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD-EFQH材料切割成三棱锥H-ACF．
    （Ⅰ）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；
    （Ⅱ）已知原长方体材料中，AB=2，AD=3，DH=1，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高；甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角θ，再根据公式h=AH•sinθ求三棱锥H-ACF的高h．请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高．

    分析 （Ⅰ）证明MK∥平面ACF，MN∥平面ACF，然后证明平面MNK∥平面ACF，最后证明MG∥面ACF．
    （Ⅱ）分别以DA，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．求出平面ACF的一个法向量求出向量$\overrightarrow{AH}$与平面ACF的一个法向量的正弦函数值，然后求解三棱锥H-ACF的高即可．

    解答 解：（Ⅰ）证明：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，
    ∴MK∥AF，MN∥AC．∵MK?平面ACF，AF?平面ACF，
    ∴MK∥平面ACF，同理可证MN∥平面ACF，
    ∵MN，MK?平面MNK，且MK∩MN=M，
    ∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊆面MNK，∴MG∥面ACF．…（6分）
    （Ⅱ）解：分别以DA，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．
    则有A（3，0，0），C（0，2，0），F（3，2，1），H（0，0，1），…（7分）
    $\overrightarrow{AC}=（-3，2，0）$，$\overrightarrow{AF}=（0，2，1）$，$\overrightarrow{AH}=（-3，0，1）$，
    设平面ACF的一个法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
    则有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=-3x+2y=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AF}=2y+z=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}y\\ z=-2y\end{array}\right.$，令y=3，则$\overrightarrow n=（2，3，-6）$，…（9分）
    ∴$sinθ=|\frac{{\overrightarrow{AH}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{AH}||\overrightarrow n|}}|=\frac{12}{{7•\sqrt{10}}}=\frac{{6\sqrt{10}}}{35}$，…（11分）

    ∴三棱锥H-ACF的高为$AH•sinθ=\frac{{6\sqrt{10}}}{35}•\sqrt{10}=\frac{12}{7}$．…（12分）

    点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的判定定理的应用，几何体中点、线、面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

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