Question

5．若对于?x∈（0，+∞），关于x的不等式lnx-ax+2≤0恒成立，则实数a的取值范围是[e，+∞）．

Answer 1

分析 问题转化为a≥$\frac{2+lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，令h（x）=$\frac{2+lnx}{x}$，根据函数的单调性，求出a的范围即可．

解答 解：对于?x∈（0，+∞），关于x的不等式lnx-ax+2≤0恒成立，
即a≥$\frac{2+lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，
令h（x）=$\frac{2+lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{-1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{e}$，令h′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
∴h（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递减，
h（x）≤h（$\frac{1}{e}$）=e，
∴a≥e，
故答案为：[e，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．