Question

17．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=6，cos∠ABC=-$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）若∠BAC=$\frac{π}{4}$，求AC的长；
（Ⅱ）若BD=9，求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若∠BAC=$\frac{π}{4}$，利用同角三角函数的基本关系求得sin∠ABC 的值，△ABC中，再利用正弦定理求得AC的长．
（Ⅱ）若BD=9，由条件求得sin∠BCD 的值．在△BCD中，根据cos∠BCD=$\frac{1}{3}$利用余弦定理求得CD的值，从而求得 S_△BCD=$\frac{1}{2}$•6•9•sin∠BCD 的值．

解答 解：（Ⅰ）因为cos∠ABC=-$\frac{1}{3}$，∴∠ABC为钝角，sin∠ABC=$\sqrt{{1-cos}^{2}∠ABC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
在△ABC中，$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AC}{sin∠ABC}$，即 $\frac{6}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{AC}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$，解得AC=8．
（Ⅱ）因为AB∥CD，所以∠ABC+∠BCD=π，
故cos∠BCD=-cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，
sin∠BCD=sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
在△BCD中，cos∠BCD=$\frac{1}{3}$=$\frac{36{+CD}^{2}-81}{2•6•CD}$，
整理得CD²-4CD-45=0，解得CD=9，
所以，S_△BCD=$\frac{1}{2}$•6•9•sin∠BCD=$\frac{1}{2}•6•9•\frac{2\sqrt{2}}{3}$=18$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．