Question

10．已知函数f（x）=x²+cosx，对于[$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]上的任意x₁，x₂，有如下条件：①x₁＞x₂；②x₁＜x₂；③|x₁|＞x₂；④x₁²＞x₂²．其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的序号是（　　）

• A． ①④
• B． ②③
• C． ③
• D． ④

Answer 1

分析 利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论．

解答 解：∵f′（x）=2x-sinx，f″（x）=2-cosx＞0，
f′（x）在[$-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}$]上递增，f′（-$\frac{π}{2}$）＜0，f′（$\frac{π}{2}$）＞0，
∴当x=0时，f′（0）=0；
当x∈[-$\frac{π}{2}$，0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；
当x∈（0，$\frac{π}{2}$]时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增．
∴函数f（x）在x=0时取得最小值，f（0）=0+1=1，
∵?x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，都有f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函数，
根据以上结论可得：
①当x₁＞x₂时，则f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②当x₁＜x₂|时，则f（x₁）＞f（x₂）不成立；
③当|x₁|＞x₂时，则f（x₁）=f（|x₁|）＞f（x₂）不恒成立；
④当x₁²＞x₂²时，得|x₁|＞|x₂|，
则f（|x₁|）＞f（|x₂|）?f（x₁）＞f（x₂）恒成立；
综上可知：能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的有④．
故选：D．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、判定函数的奇偶性等是解题的关键．